101
Эти диаграммы являются струнными вариантами так называемых диаграмм Фейнмана, предложенных Ричардом Фейнманом для вычислений по теории возмущений в квантовой теории поля точечных частиц.
102
Точнее, каждая пара виртуальных струн, т. е. каждая петля конкретной диаграммы, приводит (наряду с другими более сложными слагаемыми) к мультипликативному вкладу, пропорциональному константе связи струны. Чем больше петель, тем выше показатель степени константы связи струны в ответе. Если константа связи струны меньше 1, повторные умножения сделают вклад следующих петель меньше, в противном случае эти вклады будут того же порядка или будут растут с числом петель.
103
Для читателя, осведомлённого в математике, отметим, что в силу этого уравнения пространство-время должно иметь Риччи-плоскую метрику. Если разбить пространство-время на прямое произведение четырёхмерного пространства Минковского и шестимерного компактного кэлерова многообразия, то обращение в нуль кривизны Риччи будет эквивалентно требованию того, что кэлерово многообразие должно быть многообразием Калаби–Яу. Вот почему многообразия Калаби–Яу так важны в теории струн.
104
Разумеется, ничто не гарантирует правомочность таких косвенных подходов. Например, некоторые лица несимметричны, а в физике могут быть законы, разные в далеко удалённых частях Вселенной (это вкратце обсуждается в главе 14).
105
Для знающего читателя должно быть ясно, что для справедливости этих утверждений потребуется так называемая N = 2 суперсимметрия.
106
Более точно, если обозначить константу связи O-гетеротической струны символом gОГ, а константу связи струны типа I символом gI, то соотношение между константами, для которых состояния в данных физических теориях эквивалентны, имеет вид gОГ = 1/gI или gI = 1/gОГ. Если одна из констант связи мала, то другая константа велика, и наоборот.
107
Это близкий аналог рассмотренной выше (R, 1/R) дуальности. Если обозначить константу связи струны типа IIB через gIIB, то кажется правдоподобной гипотеза, что значения констант gIIB и 1/gIIB приводят к одинаковым физическим результатам. Если gIIB велико, то 1/gIIB мало, и наоборот.
108
Если свёрнуты все измерения, кроме четырёх, то в теории с двенадцатью измерениями и более обязательно возникнут безмассовые частицы со спином, большим 2, что неприемлемо ни с теоретической, ни с экспериментальной точек зрения.
109
Заметным исключением явилась важная работа 1987 г. Даффа, Поля Хоува, Такео Инами и Келлога Стелле, в которой более ранние наблюдения Эрика Бергшоеффа, Эргина Сезгина и Таунсенда использовались для обоснования того, что десятимерная теория струн может иметь глубокую связь с 11-мерной теорией.
110
Более точно, эту диаграмму следует интерпретировать в том смысле, что у нас есть единственная теория, которая зависит от нескольких параметров. В число этих параметров входят константы связи, а также геометрические размеры и форма. В принципе теорию можно использовать для вычисления определённых значений всех этих параметров, но в настоящий момент неясно, как выполнить такие расчёты. Поэтому, чтобы лучше разобраться в этой теории, физики исследуют её свойства при всевозможных значениях параметров. Если параметры выбираются в любой из шести полуостровных частей рис. 12.11, свойства теории будут наследоваться одной из пяти теорий струн или 11-мерной супергравитацией, как отмечено на рисунке. Если параметры выбираются в центральной части, физическими законами будет управлять всё ещё мистическая M-теория.
111
Следует отметить, однако, что даже в полуостровных областях существует ряд экзотических типов влияния бран на обычную физику. Например, высказывалось предположение, что три наших протяжённых измерения могут сами быть крупной и несвёрнутой 3-браной. Если это предположение справедливо, то всю свою жизнь мы просто скользим по внутренности трёхмерной мембраны. В настоящее время проводится анализ подобных гипотез.
112
Интервью с Эдвардом Виттеном, 11 мая 1998 г.
113
Знающему читателю будет понятно, что при преобразованиях зеркальной симметрии коллапсирующая трёхмерная сфера одного пространства Калаби–Яу отображается на коллапсирующую двумерную сферу другого пространства Калаби–Яу, приводя, на первый взгляд, к той же ситуации флоп-перестроек, которая рассматривалась в главе 11. Разница, однако, в том, что в подобном зеркальном описании антисимметричное тензорное поле Bμν (действительная часть комплексной кэлеровой формы на зеркальном пространстве Калаби–Яу) обращается в нуль, и сингулярность гораздо сильнее, чем в случае, который описывался в главе 11.
114
Более точно, примерами экстремальных чёрных дыр являются чёрные дыры с минимальными для данных зарядов массами, в полной аналогии с рассмотренными в главе 12 БПС-состояниями. Такие чёрные дыры будут играть важнейшую роль при обсуждении энтропии чёрной дыры.
115
Излучение чёрной дыры должно быть подобно излучению теплоты раскалённым камином. Это как раз та проблема, которая обсуждалась в главе 4 и сыграла важнейшую роль в развитии квантовой механики.
116
Так как чёрные дыры, участвующие в конифолдных переходах с разрывом пространства, являются экстремальными, оказывается, что ни при каких малых массах они не излучают по Хокингу.
117
Лекция Стивена Хокинга, прочитанная на Амстердамском симпозиуме по гравитации, чёрным дырам и струнам, 21 июня 1996 г.
118
В первых расчётах Строминджера и Вафы обнаружилось, что математические выкладки становятся проще, если работать с пятью, а не четырьмя протяжёнными пространственно-временными измерениями. После завершения вычислений энтропии пятимерной чёрной дыры они с удивлением обнаружили, что ещё никто не построил такие гипотетические экстремальные чёрные дыры в формализме пятимерной общей теории относительности. А так как результаты можно было проверить лишь сравнив ответ с площадью горизонта событий гипотетической чёрной дыры, Строминджер и Вафа занялись построением подобной пятимерной чёрной дыры. И им это удалось. Дальше уже не представляло труда показать, что результат для энтропии в теории струн, полученный на основе анализа микроскопических свойств, согласуется с предсказанием Хокинга, сделанным на основе площади поверхности горизонта событий чёрной дыры. После публикации их работы многим теоретикам, среди которых необходимо отметить принстонского физика Кертиса Каллана и его последователей, удалось вычислить энтропию для более привычного случая четырёх протяжённых пространственно-временных измерений, и все эти вычисления подтвердили правильность предсказания Хокинга.
119
Интервью с Шелдоном Глэшоу, 29 декабря 1997 г.
120
Laplace, «Philosophical Essay on Probabilities», trans. Andrew I. Dale. New York: Springer-Verlag, 1995. (См. рус. изд.: Лаплас «Опыт философской теории вероятности». М., 1908.)
121
Цитируется по книге: Stephen Hawking and Roger Penrose, «The Nature of Space and Time». Princeton: Princeton University Press, 1995, p. 41. (Рус. пер.: Хокинг С., Пенроуз Р. «Природа пространства и времени». Ижевск: РХД, 2000.)
122
Лекция Стивена Хокинга, прочитанная на Амстердамском симпозиуме по гравитации, чёрным дырам и струнам, 21 июня 1997 г.
123
Интервью с Эндрю Строминджером, 29 декабря 1997 г.
124
Интервью с Кумруном Вафой, 12 января 1998 г.
125
Лекция Стивена Хокинга, прочитанная на Амстердамском симпозиуме по гравитации, чёрным дырам и струнам, 21 июня 1997 г.
126
Это в определённой мере связано с вопросом о потере информации, который обсуждается в последние годы. Некоторые физики придерживаются идеи о возможности существования внутри чёрной дыры «ядра», где хранится вся информация, которую перенесли тела, попавшие под горизонт событий чёрной дыры.
127