Рис. 1.33 Рис. 1.34
Рис. 1.35 Рис. 1.36
Используя (1.3) и независимость α и β, получим
P2 = P[Aα ∩ B'γ] = P(A ∩ D) + P(A ∩ K) + P(B ∩ D) +
+ P(B ∩ K) + P(C ∩ D) + P(C ∩ K) = Р12 + Р22,
где
P12 = P(A ∩ D) + P(B ∩ D) + P(C ∩ D) = P(G1) + P(G3) + P(G5);
Р22 = P(A ∩ K) + P(B ∩ K) + P(C ∩ K) = P(G2) + P(G4) + P(G);
φα(x) – плотность вероятностей случайной величины α, φβ(y) – плотность вероятностей случайной величины β;
Таким образом, Р2 есть сумма двух вероятностей, одна из которых обусловлена событиями D, вторая – событиями K. Отметим, что полученное выражение справедливо для двустороннего ограничения индикатора х, подлежащего контролю и ограничению, когда измеренная величина хизм в силу погрешностей измерения δх их значения удовлетворяет D или K.
Окончательно,
Из теории вероятностей известно, что
где Fβ(x) – функция распределения случайной величины β; Rβ(x) – дополнительная функция распределения случайной величины β. Тогда формулу (1.4) можно переписать в следующем виде:
Перейдем к вычислению вероятности P3:
P3 = P[Aγ ∩ Bα] + P(Cα ∩ Aγ) =
= P[( ≤ γ ≤ ) ∩ {α < xн) (α > xв)}] =
= P[{( ≤ γ ≤ ) ∩ (α < xн)} {( ≤ γ ≤ ) ∩ (α > xв)}] =
= P[{( – α ≤ β ≤ – α) ∩ (α < xн)} {( – α ≤ β ≤ – α) ∩
∩ (α > xв)}] = P[( – α ≤ β ≤ – α) ∩ (α < xн)] +
+ P[( – α ≤ β ≤ – α) ∩ (α > xв)].
Таким образом,
Если параметры подчинены односторонним ограничениям, то, согласно формулам (1.5) и (1.6), вероятности событий (Aα ∩ Bγ) и (Aγ ∩ Bα) вычисляются следующим образом. В случае одностороннего ограничения сверху полагаем xн → –∞, → –∞, тогда Fβ(–∞) = 0:
Если xв, → ∞, то в случае одностороннего ограничения снизу
Аналогично, если xн, → ∞,
Если xв, →∞, то
Часто при практических расчетах удобно использовать не φα(x), а . В этом случае для индикатора, подлежащего ограничению снизу, получаем:
где W(t, Δx, δx) – совместная плотность распределения случайных процессов Δx, δx в момент времени t; xn = xкдоп.
Вид подынтегральной функции выражений (1.8), (1.9) либо (1.10), (1.11) и основные факторы, подлежащие учету при ее формировании, определяются объектами или подсистемами рыночной системы и их режимом работы, а также множеством других параметров и факторов. При этом погрешность δx, как правило, не оказывает влияния на величину отклонения от номинального режима Δx. Это обстоятельство есть допущение, которое каждый раз необходимо проверять.
С учетом сказанного выше, при практических расчетах вероятностей Pi зависимостью между погрешностями измерения δx и величинами отклонения параметров Δx от номинального режима можно пренебречь. В результате (см. рис. 1.37):
где Δ = хдоп – хн; Δ′ = хn – хн – Δх.
На рис. 1.37 представлена геометрическая интерпретация событий, соответствующих вероятностям P2 и P3, определяемым по формулам (1.7) и (1.9) (ограничение сверху).
Рис. 1.37
Из последних соотношений следует, что вероятности Р3 и Р2 зависят от плотностей распределения W1(Δx) отклонений x от номинальных значений xн, пороговых xn и допустимых xдоп значений параметров, плотности распределения суммарной погрешности W2(δx). При этом Р3 представляет вероятность попадания точки (Δx, δx) в область , ограниченную прямыми Δx = а = xдоп – xн и δx = xn – xн – Δx (рис. 1.38). Величина δx изменяется от –∞ до b = xn – xн. Вероятность попадания точки (Δx, δx) в область представляет собой Р2.
Рис. 1.38
Случай двустороннего ограничения параметров представлен на рис. 1.39. При этом Р3 представляет вероятность попадания точки с координатами (Δx, δx) в области и одновременно, а для Р2 в , – одновременно (рис. 1.39).
Рис. 1.39
Значения Р3 и Р2 должны удовлетворять допустимым значениям Рдоп. Если, например, Р3 > Р3доп, то необходимо принимать решение об уменьшении границ пороговых значений xн.
Выводы.
Для практической реализации полученных показателей риска необходимо:
1. Выделить индикаторы, характеризующие потенциальную возможность возникновения критического (опасного) состояния рыночной системы, т. е. провести качественный анализ риска.
2. Для выделенных индикаторов х найти их критические значения.
3. Для численного расчета вероятностных показателей риска необходимо построить математическую модель плотностей вероятностей W(xф, хизм).
4. С целью прогнозирования и управления рисками во времени, а также анализа влияния на показатели риска отдельных факторов риска необходимо разработать математические модели для функций xф и хизм.
Глава II. Кризисы и катастрофы рыночных систем. качественные модели
Оптимист творит
Интеллектуальную собственность,
Пессимист – материальную.
Рыночным системам свойственен закон циклического саморазвития.
Проблема предотвращения кризиса и катастрофы обусловлена взаимодействием общества, рынка и государственной власти. Основное свойство рынка – это его способности: усреднять цены на товары и услуги; осуществлять банкротство неспособных к бизнесу, развитию экономики; формировать оценки стоимости труда; одобрять все то новое, что обусловливает пользу человеку и обществу.
2.1. Эволюция социально-экономических систем
Новое время. Италия XIV–XV вв., другие страны – XV–XVII вв.
Разложение средневековой культуры феодализма началось с зарождения новых духовных процессов в философских школах, участники которых познают новое, позволяющее им изменять естественную связь рассудка, чувства и воли. При этом между чувством и волей (душой и духом) вводится новое понятие – вера, которая требует полного изгнания из жизни спонтанных, неконтролируемых сознанием поступков, слов, побуждений.