План книги очень простой. Главы с нечетными номерами (сначала они планировались как главы с простыми номерами, но я подумал, что не стоит казаться слишком умным) содержат математические объяснения, подводя читателя — надеюсь, плавно — к пониманию Гипотезы Римана и к осознанию ее важности. В главах с четными номерами раскрываются исторические и биографические подробности.
Изначально я собирался сделать эти две нити повествования независимыми, так чтобы читатели, недолюбливающие формулы, могли наслаждаться только четными главами, а читатели, которых не слишком интересуют история и байки про математиков, могли спокойно читать нечетные. Реализовать этот план мне удалось не в полной мере, и я теперь сомневаюсь, что со столь запутанным предметом это вообще возможно. Тем не менее в своей основе планировавшееся разбиение сохранилось. Математики намного больше в нечетных главах и намного меньше в четных, и читатель волен, разумеется, попытаться следовать при чтении той или иной линии. Правда, я все же надеюсь, что вы прочтете книгу целиком.
Книга предназначена для понятливого и любознательного читателя-нематематика. Такое утверждение, конечно, вызывает целый ряд вопросов. Что имеется в виду под «нематематиком»? Какой уровень математических знаний предполагается у читателя? Ну, начнем с того, что каждый хоть что-то знает из математики. Наиболее образованные люди могут, вероятно, иметь смутное представление о том, что такое математический анализ. Я думаю, что мне удалось написать книгу, отвечающую уровню тех читателей, кто был в терпимых отношениях со школьной математикой и, возможно, прослушал пару институтских курсов по математике.
Первоначально я собирался объяснить Гипотезу Римана вообще без использования математического анализа. Такая постановка задачи оказалась немного слишком оптимистичной; в результате набрались три главы, содержащие (в очень ограниченном объеме) самый элементарный анализ, причем все необходимое объясняется по ходу дела.
Практически все остальное — это просто арифметика и элементарная алгебра: раскрытие скобок в выражениях типа (a + b)×(c + d) или преобразования уравнений, позволяющие превратить S = 1 + xS в S = 1/(1 − x). Еще потребуется готовность читателя принять кое-какие сокращенные обозначения, позволяющие пощадить мускулы кисти руки при переписывании математических выражений. Я могу утверждать по крайней мере следующее: я не думаю, что Гипотезу Римана можно объяснить, используя математику более элементарную, чем та, что излагается в этой книге; поэтому если, закончив чтение, вы так и не будете понимать, в чем состоит Гипотеза, то можете быть уверены, что вы этого никогда не поймете.
Многие профессиональные математики и историки математики великодушно откликнулись на мои просьбы о помощи. Я глубоко благодарен целому ряду людей, добровольно уделивших мне время, за данные мне советы (которым я не всегда следовал), за их терпение, когда им приходилось отвечать на одни и те же тупые вопросы, а одному из них я особенно благодарен за оказанное мне гостеприимство. Вот эти люди: Джерри Александерсон, Том Апостол, Мэтт Брин, Брайан Конри, Хэролд Эдварде, Деннис Хеджхал, Артур Джаффе, Патрисио Лебеф, Стивен Миллер, Хью Монтгомери, Эрвин Нейеншвандер, Эндрю Одлыжко, Сэмюэль Паттерсон, Питер Сарнак, Манфред Шредер, Ульрике Форхауер, Матти Вуоринен и Майк Вестморланд. За все серьезные ошибки в книге несу ответственность я, а не они. Бригитт Брюггеман и Херберт Айтенайер помогли мне восполнить пробелы в немецком. Заказы на статьи от моих друзей из National Review, The New Criterion и The Washington Times позволяли кормить моих детей, пока я работал над книгой. Многочисленные читатели моих онлайновых колонок помогли мне осознать, какие именно математические идеи представляют наибольшую трудность для понимания нематематиками.
Вместе с благодарностями приходится принести и примерно такое же количество извинений. Книга посвящена предмету, который целый ряд лучших умов человечества интенсивно исследует на протяжении сотни лет. В рамках отведенного объема и в соответствии с выбранным методом изложения пришлось выкинуть целые области исследований, связанных с Гипотезой Римана. В книге вы не найдете ни слова ни о гипотезе плотности, ни о приближенном функциональном уравнении, ни даже о целом захватывающем направлении, лишь недавно пробудившемся к активной жизни после долгой спячки, — исследовании моментов дзета-функции. Не будут также упомянуты обобщенная гипотеза Римана, модифицированная обобщенная гипотеза Римана, расширенная гипотеза Римана, большая гипотеза Римана, модифицированная большая гипотеза Римана и квазириманова гипотеза.
Еще огорчительнее, что в моей книге не встретится имен многих ученых, которые десятилетиями трудятся на этом поприще, не покладая рук. Это Энрико Бомбьери, Амит Гош, Стив Гонек, Хенрик Иванек (в половине приходящей к нему электронной корреспонденции указан адресат «Хенри К. Иванек»), Нина Снейт и многие другие. Я приношу им свои искренние извинения. Когда работа начиналась, я и не подозревал, какой груз взваливаю на свои плечи. Эта книга с легкостью могла оказаться в три или в тридцать раз длиннее, но мой редактор уже шарил под столом в поисках бензопилы.
И еще одна благодарность. Я придерживаюсь того суеверия, что всякая книга, выходящая за рамки ремесла, — другими словами, всякая книга, написанная с тщанием и любовью, — имеет своего духа-хранителя. Этим я просто хочу сказать, что за всякой книгой стоит определенный конкретный человек, образ которого не покидает мысли автора во время работы и личность которого добавляет красок его страницам. (В художественной литературе, боюсь, таким человеком слишком часто оказывается сам автор.)
Дух-хранитель этой книги, чей взгляд через плечо я, казалось, временами ловил, пока писал, чье легкое покашливание в соседней комнате я иногда слышал в своем воображении и кто неслышно действует за сценой и в математических, и в исторических главах, — это Бернхард Риман. Чтение того, что написано им, и того, что написано о нем, вызвало во мне смешанные чувства по отношению к этому человеку: глубокое сочувствие к его неприспособленности к жизни в обществе, подорванному здоровью, выпавшим на его долю тяжелым утратам и хронической бедности смешано с благоговением перед невероятной мощью его ума и силой его сердца.
Книгу следует посвятить кому-то из живущих, чтобы посвящение могло доставить удовольствие. Я посвятил эту книгу своей жене, которая совершенно точно знает, насколько это посвящение искренне. Но в определенном смысле, и это нельзя обойти молчанием в предисловии, эта книга принадлежит Бернхарду Риману, который за свою короткую жизнь, омраченную многими горестями, оставил людям столь много имеющего непреходящую ценность — включая и задачу, которая продолжает манить их через полторы сотни лет после того, как он с типичной для себя застенчивостью упомянул о своих «недолгих бесплодных попытках» ее решить.
Джон Дербишир
Хантингтон, Лонг-Айленд
Июнь 2002 г.
Часть первая
Теорема о распределении простых чисел
Глава 1. Карточный фокус
I.Как и многие другие представления, это начинается с колоды карт.
Возьмем обычную колоду из 52 карт; положим ее на стол, подровняв со всех сторон. А теперь сдвинем самую верхнюю карту колоды, не пошевелив при этом ни одну из остальных карт. Насколько можно сдвинуть верхнюю карту, чтобы она еще не упала?
Ответ понятен: на половину длины карты, что мы и видим на рисунке 1.1. Если подвинуть ее так, чтобы на весу оказалось более половины карты, она упадет. Точка опрокидывания находится в центре тяжести карты, т.е. на середине ее длины.
Рисунок 1.1.
Теперь сделаем кое-что еще. Пусть верхняя карта так и лежит, сдвинутая на половину своей длины — т.е. с максимальным нависанием, — а мы начнем осторожно сдвигать следующую карту. Насколько в сумме могут нависать две верхние карты?
Фокус состоит в том, что эти две карты надо рассматривать как единое целое. Где у этого целого находится центр тяжести? Ясно, что посередине общей длины — длины в полторы карты. Значит, центр тяжести расположен на расстоянии в три четверти длины карты от выступающего края верхней карты (см. рисунок 1.2). Суммарное нависание, следовательно, равно трем четвертям длины карты. Заметим, что верхняя карта по-прежнему свисает со второй на половину своей длины. Но две верхние карты мы сдвигали как единое целое.
Рисунок 1.2.