198
Хотя в определении и есть некоторый произвол, для преодоления которого нет общего рецепта. Например, в программе Mathematica 4 функция Li(x) реализована как одна из встроенных функций, Loglntegral[х]. Для вещественных чисел она ровно такая, как я ее описал, — собственно, ее я и использовал для построения графика Li(x) в главе 7.viii. Однако для комплексных чисел определение интеграла, реализованное в Mathematica, слегка отличается оттого, которое использовал Риман. Поэтому для своих комплексных вычислений я не использовал определение Loglntegral[х] из Mathematica, а определил там Li(x1/2+ir) как ExpIntegralEi[(1/2 + Ir)Log[x]].
199
Одним глазом разглядывая этот список, а другим — рисунок 21.3, можно видеть, что тенденция, согласно которой первые несколько нулей отправляются в числа с отрицательными вещественными частями, представляет собой лишь случайный эффект, и дело вскоре поправляется.
200
На рисунках 21.5 и 21.6 нуль, комплексно сопряженный к k-му нулю, обозначен как (−k)-й нуль. Разумеется, неверно, что ρ' = −ρ.
201
Заметим, что 639:1050 = 0,6085714…. Для больших чисел N вероятность того, что N свободно от квадратов, равна ~ 6/π2, т.е. 0,60792710…. Вспоминая из главы 5 найденное Эйлером решение базельской задачи, можно заметить, что эта вероятность равна 1/ζ(2). Это верно и в общем случае. Вероятность того, что положительное целое число N, выбранное случайным образом, не делится на п-ю степень никакого целого числа, равна ~ 1/ζ(n). Например, среди всех чисел, не превышающих 1000 000, в действительности 982 954 не делятся ни на какую шестую степень; при этом 1/ζ(6) равняется 0,98295259226458….
202
На домашней страничке Ульрике на веб-сайте Ульмского университета вывешена фотография, на которой она стоит рядом с надгробным камнем Бернхарда Римана в итальянской Селаске.
203
Джонатан Китинг — профессор прикладной математики в Бристольском университете в Англии. Он тесно сотрудничал с сэром Майклом Берри в исследовании физических аспектов ГР.
204
«Нули преобразования Меллина от функции Эрмита имеют вещественную часть одна вторая» (1986). Соавтором Бампа по доказательству был некто Е.К.-С. Нг, о котором мне больше ничего не известно.
205
Независимое федеральное агентство в США, созданное по решению Конгресса США в 1950 г.; среди его целей первой названа цель способствовать развитию науки. (Примеч. перев.)
206
Мне, по крайней мере, так кажется. Однако один профессиональный математик, познакомившийся с рукописью этой книги, выразил по этому поводу искреннее недоверие. Математикам исключительно сложно всерьез принять мысль о том, что занятиями математикой можно зарабатывать серьезные деньги.
207
От англ. clarity — ясность, прозрачность. (Примеч. перев.)
208
Мартин Хаксли — профессор чистой математики из университета Уэльса в Кардиффе.
209
Без примесей, чистокровный (франц.). (Примеч. перев.)
210
Гипотеза Римана эквивалентна, в частности, ряду утверждений о делителях натуральных чисел, например, такому утверждению: «Для всякого натурального числа n ≥ 5041 сумма его делителей меньше величины eγn ln(ln n)». Здесь γ — упоминавшееся число Эйлера-Маскерони, в России чаще называемое просто постоянной Эйлера. (Примеч. перев.)
211
Цепь событий в наикратчайшем изложении такова. Метод, принятый в Principia Mathematica, не давал гарантии от ошибок, подобных той, на которую Рассел обратил внимание в работе Фреге. Программа «метаматематики» Гильберта ставила целью объять и логику, и математику в единый четкий формализм. Это послужило мотивировкой исследований Курта Геделя и Алана Тьюринга. Гедель доказал ряд важных теорем путем построения соответствия между символами типа гильбертовых и числами; Тьюринг закодировал и инструкции, и данные в виде чисел в своей идее «машины Тьюринга». Ухватившись за эту идею, Джон фон Нейман развил концепцию хранящейся в памяти программы — концепцию, на которой основано все современное программное обеспечение и согласно которой и код, и данные можно единообразно представить в памяти компьютера…
212
В письме к брату от 26 июня 1854 г. он упоминает возобновление mein altes Übel — «моей старой болезни», вызванное разыгравшейся непогодой.
213
Ныне — в муниципалитете Вербания.
214
Weender Chaussee было позднее переименовано в Bertheaustrasse.
215
В оригинале песню Тома Апостола «Где же нули у функции дзета» можно послушать (и даже посмотреть видеоклип с исполнением первого куплета) по адресу:
http://olimu.com/Riemann/Song.htm. (Примеч. перев.)
216
Вилликенс и его Дина. (Примеч. перев.)
217
В Англии, как правило, в регби играют в частных школах (а в футбол — в остальных). (Примеч. перев.)
218
«0 святой отец, прими мою исповедь. Я оставил одну бедную девочку в чертовски трудном положении». (Примеч. перев.)
219
Поскольку в данном случае — при движении вверх по критической прямой — t, очевидно, положительно, указание на его модуль излишне, если только оно не служит попаданию в размер стиха. (Примеч. перев.)
220
Упомянутые в главе 8.ii условия Коши-Римана, которые определяют «хорошо ведущие себя функции», как раз выделяют такие функции, для которых зависимость от контура, по которому ведется интегрирование между двумя заданными точками на комплексной плоскости, носит контролируемый, «дискретный» характер. (Примеч. перев.)
Комментарии
1
Или, правильней:
и так далее.
2
В оригинале .
3
В оригинале обозначается как .
4
В оригинале обозначается как .
Джон Дербишир
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Главный редактор Варвара Горностаева
Художник Андрей Бондаренко
Ведущий редактор Галина Юзефович
Ответственный за выпуск Мария Косова
Технический редактор Татьяна Тимошина
Корректор Екатерина Комарова
Верстка Марина Харитонова
ООО «Издательство Астрель»,
обладатель товарного знака «Издательство Corpus»
129085, г. Москва, пр-д Ольминского, 3а
Подписано в печать 11.01.2010. Формат 60x90/16
Бумага офсетная. Гарнитура «MetaNormalC»
Печать офсетная. Усл. печ. л. 29
Тираж 5000 экз. Заказ № 0808.
Общероссийский классификатор продукции OK-005-93, том 2;
953000 — книги, брошюры
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№77.99.60.953.Д.012280.10.09 от 20.10.2009
Охраняется законом РФ об авторском праве. Воспроизведение всей книги или любой ее части воспрещается без письменного разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут преследоваться в судебном порядке.
Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в ЗАО «ИПК Парето-Принт»
г. Тверь, www.pareto-print.ru
Издание осуществлено при техническом содействии ООО «Издательство ACT», ООО «Издательство Астрель»
По вопросам оптовой покупки книг Издательской группы «ACT» обращаться по адресу:
г. Москва, Звездный бульвар, 21, 7-й этаж,
тел.: (495) 615-01-01, 232-17-16