М. Сихов - Тесты и их решения по финансовой математике

М. Б. Сихов

Тесты и их решения по финансовой математике

ТЕСТ 1

Теория процентов. Текущая и будущая стоимость денег, внутренняя ставка доходности

В настоящий момент времени открыты 2 счета «Фонд А» и «Фонд В» для перечисления на них взносов. На каждый из счетов начисляются простые проценты по годовой ставке .

В Фонд А будет перечислен только один взнос в размере 8200 через 3.25 года с настоящего момента времени.

В Фонд В будет перечислено три взноса. Первый взнос в размере 2400 будет перечислен через 1 год с настоящего момента времени. Второй взнос в размере 2700 будет перечислен через 3.5 года с настоящего момента времени. Третий взнос в размере 3000 будет перечислен через 4 года с настоящего момента времени. В конце 4 – летнего периода (сразу после третьего взноса в Фонд В), на обоих счетах будут накоплены одинаковые суммы.

Найдите значение .

A. Меньше 4.0%

B. 4.0 %, но меньше 4.5%

C. 4.5 %, но меньше 5.0%

D. 5.0 %, но меньше 5.5%

E. 5.5 % или больше

Решение.

Фонд А

Фонд В

Приравнивая накопленные суммы в фондах А и В, имеем

Отсюда .

Годовая ставка процентов равна 12 %. Необходимо найти эквивалентную номинальную ставку дисконта, начисляемого 9 раз в год.

В каком из следующих интервалов находится эта ставка?

A. меньше 10.90%

B. 10.90 %, но меньше 11.30%

C. 11.30 %, но меньше 11.70%

D. 11.70 %, но меньше 12.10%

E. 12.10 % или больше

Решение.

Пусть – эффективная годовая ставка процента, – эффективная годовая ставка дисконта, – номинальная ставка процента, -номинальная ставка дисконта, начисляемые m раз в год, тогда справедливы формулы (cм. (1.21) из [1])

(1.1)

для всех положительных целых значений m и n.

Пользуясь этими формулами, получим

, следовательно , откуда мы находим .

Решение на калкуляторе.

1-шаг (): 2nd ICONV; 2nd CLR WORK; (NOM=); ↑(C/Y=) 9 ENTER; ↑(EFF=) 12 ENTER; ↑ (NOM=); CPT: NOM = 11.4045 %;

Теперь пользуясь формулой справедливой для эффективных ставок(cм. (1.16) из [1])

, т.е. (1.2)

имеем

2-шаг (расчет ): 11.4045/(1+0.114045/9)=11.26 %.

Решение на компьютере.

1-шаг (): НОМИНАЛ(Факт_ ставка=12 %; Кол_пер=9)= 11.4045 %;

2-шаг (расчет ): 11.4045/(1+0.114045/9)=11.26 %.

Банк предлагает ипотечную ссуду по ставке 14 % годовых, начисляемых 12 раз в год.

В каком из следующих интервалов находится разность между и ?

A. Меньше (-0.7)%

B. (-0.7)%, но меньше (-0.3)%%

C. (-0.3)%, но меньше 0.1%

D. 0.1 %, но меньше 0.5%

E. 0.5 % или больше

Решение.

В силу (1.1)

.

Следовательно, учитывая, что получим

, .

Тем самым,

Решение на калкуляторе.

Cначала перейдем от ставки к ставке по следующей схеме:

.

1-шаг (расчет ): 2nd ICONV; 2nd CLR WORK; (NOM=) 14 ENTER; ↑(C/Y=) 12 ENTER; ↑(EFF=) CPT: EFF = 14.934;

↓ (C/Y=) 4 ENTER; ↓ (NOM=) CPT: NOM=14.164 14.164/4 =3.541 %;

Продолжая, в силу (1.2) имеем

2-шаг (расчет ): :100 (переход от % к числовому значению); +1=; (функция деления); 3.541 %=13.68 %;

3-шаг (расчет ): 2nd ICONV; 2nd CLR WORK; (NOM=) 14 ENTER; ↑(C/Y=) 12 ENTER; ↑(EFF=) CPT: EFF = 14.934 %;

↓ (C/Y=) 9 ENTER; ↓ (NOM=) CPT: NOM=14.027 % ;

4-шаг (расчет ): (переход -14.027 %); +13.68=-0.35.

Решение на компьютере.

Cначала перейдем от ставки к ставке по следующей схеме:

.

1-шаг ( ): ЭФФЕКТ(Номинальная ставка=14 %; Кол_пер=12)= 14.934 %;

2-шаг ( ): ↓ НОМИНАЛ(Факт_ ставка=14.934 %; Кол_пер=4)= 14.164 % 14.164 %/4 =3.541 %;

Далее, силу (1.2) имеем

3-шаг (расчет ): 14.164 % / (3.541 % +1)=13.68 %;

4-шаг ( ): НОМИНАЛ(Факт_ ставка=14.934 %; Кол_пер=9)= 14.027 %; 5-шаг (расчет ): 13.68 %-14.027 %=-0.35.

Фонд Х имеет номинальную ставку процента 11 % годовых, начисляемых ежеквартально. Фонд У имеет номинальную ставку дисконта 10 % годовых, начисляемых каждые полгода.

В каком из следующих интервалов находится разность между интенсивностями процентов для этих фондов?

A. Меньше (-1)%

B. (-1)%, но меньше (-0.3)%%

C. (-0.3)%, но меньше 0.4%

D. 0.4 %, но меньше 1.1%

E. 1.1 % или больше

Решение.

По условию и .

Интенсивность процента δ определяется следующим образом (см. (1.24) из [1])

δ = ln(1 +i). (1.3)

Отсюда, в силу (1.1) для интенсивности процентов для фондов X и Y соответственно, получим

Следовательно

Решение на калкуляторе.

1-шаг (расчет ): 2nd ICONV; 2nd CLR WORK; (NOM=) 11 ENTER; ↑(C/Y=) 4 ENTER; ↑(EFF=) CPT: EFF = 11.462;

2-шаг (расчет ): :100 (переход от % к числовому значению); +1=; ; *100=10.85 %;

Далее, силу (1.4) имеем

3-шаг (расчет ): 0.1/2=;; +1=; ; ; ; 10.26 %;

4-шаг (расчет):; +10.85=0.59 %;

Решение на компьютере.

1-шаг ( ): ЭФФЕКТ(Номинальная ставка=11 %; Кол_пер=4)= 11.462 %;

2-шаг (расчет ): =10.85 %;

Далее, силу (1.4) имеем

3-шаг (расчет ): 10.26 %;

4-шаг (расчет):10.85 %-10.26 %=0.59 %.

Найдите число n , такое, что

В каком из следующих интервалов находится n ?

A. Меньше 2

B. 2, но меньше 3

C. 3, но меньше 4

D. 4, но меньше 5

E. 5 или больше

Решение.

В силу (1.1)

.

Тем самым

Пусть . Найти .

A.

B.

C.

D.

E.

Решение.

Пользуясь формулой (1.32) из [1] легко убедиться, что (положим )

.

Cумма 500 единиц возрастает до 570 через 9 месяцев в случае начисления простых процентов.

В каком из следующих интервалов находится ?

A. меньше 13.50%

B. 13.50 %, но меньше 15.50%

C. 15.50 %, но меньше 17.50%

D. 17.50 %, но меньше 19.50%

E. 19.50 % или больше

Решение.

Накопленная сумма 500 единиц через 9 месяцев в случае начисления простых процентов будет равна

Следовательно

.

Поэтому из (1.1) следует, что

.

Решение на калкуляторе.

1-шаг: Cначала как выше посчитаем .

2-шаг (расчет ): 2nd ICONV; 2nd CLR WORK; (NOM=); ↑(C/Y=) 3 ENTER; ↑(EFF=) 18.667 ENTER; ↑(NOM=); CPT: NOM = 17.6127;

/3 =5.8709;

Продолжая, в силу (1.2) имеем

3-шаг (расчет ): :100 (переход от % к числовому значению); +1=; (функция деления); 17.6127 %=16.64 %.

Решение на компьютере.

1-шаг ( ):НОМИНАЛ(Факт_ ставка=18.667 %; Кол_пер=3)= 17.6127 %;

Далее, силу (1.2) имеем

3-шаг (расчет ): 17.6127 %/ (17.6127 %/3+1)=16.64 %.

Алма и Жанна пожертвуют университету деньги. Алма произведет 3 платежа в размере 3200 каждый. Первый платеж будет сделан 1 января 1998 года, а остальные – 1 января в каждый из последующих двух лет. Жанна произведет только один платеж в размере 9800. Если эффективная процентная ставка составляет 2 % в месяц, а текущие стоимости пожертвований на 1 января 1998 года равны, то в каком из перечисленных месяцев Жанна произведет свой платеж?

A. Июль 1998 года

B. Август 1998 года

C. Сентябрь 1998 года

D. Январь 1999 года

E. Декабрь 1998 года

Решение.

По условию . Сначала пользуясь соотношением (1.1) определим эффективную годовую процентную ставку