– В ней всего две «нечетные» вершины – концы «палки». Значит, начертить ее одним росчерком пера возможно. Но как?
Рис. 2
Рис. 3
– Нужно начать с одного конца «палки» и кончить другим (рис. 3).
– В детстве я ломал голову над тем, чтобы начертить одним росчерком пера четырехугольник с двумя диагоналями (рис. 4). Мне этого никак не удавалось сделать.
Рис. 4
– И не удивительно: ведь в этой фигуре 4 «нечетные» вершины – углы четырехугольника. Бесполезно даже ломать голову Рис. 4 над этой задачей: она неразрешима.
– А что скажете вы о фигуре, изображенной на рис. 5?
– Ее тоже нельзя начертить одной непрерывной линией, потому что у нее 4 вершины, в каждой из которых сходится по 5 линий, т. е. у нее 4 «нечетных» вершины. Зато легко начертить фигуры, показанные на рис. 6 и 7: у них все вершины «четные» (решение для второй фигуры см. на рис. 8). Теперь перейдем к той задаче, которую решает наша муха: обойти по одному разу все ребра октаэдра, не отрывая пера от бумаги. На каждой вершине этой фигуры сходятся 4 ребра; в ней вовсе нет «нечетных» вершин. Поэтому можно начать путешествовать с любой вершины – вы обязательно возвратитесь в исходную точку. Вот одно из возможных решений (рис. 9).
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
– А знаете, это интересный род головоломок! Дайте мне десяток подобных задач, я подумаю о них на досуге.
– Извольте.
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Задача 6
Задача 7
Задача 8
Задача 9
Задача 10
Решения задач 1-10
Из фигур, представленных в задачах 1-10, безусловно, можно начертить непрерывной линией фигуры из задач 2, 4, 5, 7-10. В этих фигурах во всех точках пересечения сходится четное число линий, следовательно, каждая точка может быть начальной, она же будет и конечной. Выполнение фигур показано на рис. 10–18.
Фигура задачи 1 имеет только две «нечетные» точки – те места, где ручка молотка входит в головку: в этих точках сходится по 3 линии. Поэтому фигуру можно начертить непрерывной линией только в том случае, если начать из одной «нечетной» точки и кончить в другой.
То же относится и к фигуре задачи 3: она содержит только две «нечетные» точки, тип. Они и будут начальной и конечной точкой при черчении.
Фигура задачи 6 имеет более двух «нечетных» точек, а потому ее совершенно невозможно начертить одной непрерывной линией.
Рис. 10
Рис. 11
Рис. 12
Рис. 13
Рис. 14
Рис. 15
Рис. 16
Рис. 17
Рис. 18
Примечания
1
Отсюда ясно, между прочим, что часто встречающееся в учебниках определение поверхности как «границы тела» несостоятельно; поверхность Мебиуса никакого тела ограничивать не может, а между тем это – поверхность.