К. Пирсон и Дж. Юл разработали корреляционный анализ, который по их мнению должен ответить на вопрос о том, как выбрать с учетом специфики и природы анализируемых переменных подходящий измеритель статистической связи (коэффициент корреляции, корреляционное отношение, и т.д.), решить задачу, как оценить его числовые значения по уже имеющимся выборочным данным. Корреляционный анализ поможет: найти методы проверки того, что полученное числовое значение анализируемого измерителя связи действительно свидетельствует о наличии статистической связи; определить структуру связей между исследуемыми k признаками х1, х2,…, сопоставив каждой паре признаков ответ («связь есть» или «связи нет»).
Парный коэффициент корреляции – основной показатель взаимозависимости двух случайных величин, служит мерой линейной статистической зависимости между двумя величинами., он соответствует своему прямому назначению, когда статистическая связь между соответствующими признаками в генеральной совокупности линейна. То же самое относится к частным и множественным коэффициентам корреляции. Парный коэффициент корреляции, характеризует тесноту связи между случайными величинами х и у, определяется по формуле:
Если р = 0, то между величинами х и у линейная связь отсутствует и они называются некоррелированными.Коэффициент корреляции, определяемый по вышеуказанной формуле, относится к генеральной совокупности.
Частный коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости между двумя величинами, обладает всеми свойствами парного, т.е. изменяется в пределах от -1 до +1. Если частный коэффициент корреляции равен ±1, то связь между двумя величинами функциональная, а равенство его нулю свидетельствует о линейной независимости этих величин.
Множественный коэффициент корреляции, характеризует степень линейной зависимости между величиной х1 и остальными переменными (х2, хз), входящими в модель, изменяется в пределах от 0 до 1.
Ординальная (порядковая) переменная помогает упорядочивать статистически исследованные объекты по степени проявления в них анализируемого свойства
Ранговая корреляция – статистическая связь между порядковыми переменными (измерение статистической связи между двумя или несколькими ранжировками одного и того же конечного множества объектов О1,О2,…, Оп.
Ранжировка – это расположение объектов в порядке убывания степени проявления в них k-го изучаемого свойства. В этом случае x(k) называют рангом i-го объекта по k-му признаку. Раж характеризует порядковое место, которое занимает объект Оi, в ряду п объектов.
К. Спирмен в 1904г предложил показатель, который служил для измерения степени тесноты связи между ранжировками
В последствии данный коэффициент был назван ранговым коэффициентом К. Спирмен:
56. Методы регрессионного анализа
Термин «регрессия» ввел английский психолог и антрополог Ф.Гальтон.
Для точного описания уравнения регрессии необходимо знать чакон распределения результативного показателя у. В статистической практике обычно приходится ограничиваться поиском подходящих аппроксимаций для неизвестной истинной функции регрессии ffc), так как исследователь не располагает точным знанием условного закона распределения вероятностей анализируемого результатирующего показателя у при заданных значениях аргумента х.
Рассмотрим взаимоотношение между истинной f (х) = = М(у/х), модельной регрессией у и оценкой у регрессии. Пусть результативный показатель у связан с аргументом х соотношением:
у=2х1,5+ε
где ε – случайная величина, имеющая нормальный закон распределения.
Причем Mε = 0 и dε – σ2. Истинная функция регрессии в этом случае имеет вид:
f(х) = М(у/х) = 2хi1,5+ ε
Для наилучшего восстановления по исходным статистическим данным условного значения результативного показателя f(x) и неизвестной функции регрессии /(х) = М(у/х) наиболее часто используют следующие критерии адекватности (функции потерь).
Согласно методу наименьших квадратов минимизируется квадрат отклонения наблюдаемых значений результативного показателя y(i = 1, 2, ..., п) от модельных значений yi= f(хi), где хi– значение вектора аргументов в i-м наблюдении:
Σ(yi– f(хi)2 → min
Получаемая регрессия называется среднеквадратической.
Согласно методу наименьших модулей, минимизируется сумма абсолютных отклонений наблюдаемых значений результативного показателя от модульных значений:
yi = f(xi)
И получаем среднеабсолютную медианную регрессию:
Регрессионный анализ – это метод статистического анализа зависимости случайной величины у от переменных хj(j=1,2, ..., k), рассматриваемых в регрессионном анализе как неслучайные величины, независимо от истинного закона распределения хj.