3. Теория семантических множеств
В начале XX века прошлого тысячелетия Г. Кантор пришёл к выводу, что интуитивная математика, которой он занимался всё время, требует логического обоснования, формализации. Требуется основание математики и Кантор занялся философией математики, как это тогда именовалось. Кроме того Кантор задумался, как бы высшую математику, которой он занимался всю жизнь можно бы было применить, использовать в быту, в обычной человеческой деятельности.
Кантор пришёл к заключению, что для превращения математики в содержательную прикладную дисциплину необходимо в математике рассматривать предметы мышления наряду с прочими предметами созерцания и предложил схему использования предметов мышления наряду с предметами созерцания, которую он назвал определением понятия множества. Сущность, определяемая этой схемой, учитывает, как естественные изменения предметов созерцания, так и естественные изменения естественного интеллекта и даже учитывает изменения самой математики в процессе её развития Сплошная диалектика. Начиная с Гегеля, диалектикa противопоставляется метафизике Канта как способу мышления, который рассматривает вещи и явления как неизменные и независимые друг от друга. Георг Кантор, являясь последователем Иммануила Канта, строит безаксиоматическую математику. Математику основанную исключительно на определениях.
Теория понятий, основанная на использовании предложенной Кантором схемы мышления, позволяет рассматривать не только сходящиеся или несходящиеся числовые последовательности, но и сходящиеся или не сходящиеся последовательности понятий, теорий и даже последовательности алгоритмов. Математику использующую так определяемые сущности мышления, следует считать диалектической семантической математикой. Сходящаяся последовательность семантических алгоритмом имеет своим пределом алгоритмически полный алгоритм: NP => P
С точки зрения семантической, диалектической математики не любая совокупность, например, даже быть может очень истинных аксиом, постулатов, утверждений, понятий может определять некое новое утверждение, аксиому утверждение, понятие или даже теорему, а лишь такая совокупность, элементы которой находятся в определённой взаимосвязи, находятся в определённом взаимодействии. Семантический Полиморфизм. Такую совокупность элементов Кантор называет множеством. Новую определяемую сущность (по Кантору) создаёт операция единения таких элементов множества.
В соответвие с определением множества, сущность, определяемая этим определением может являться как предметом созерцания, так и предметом мышления.
Примеры: эллипс, парабола, окружность, плоскость, число Пи, вещественные числа числа и т. д.
В формулировке Георга Кантора: ″Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых, хорошо различимых предметов mi нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). И это множество М представляет эту совокупность {mi} ″. Авторам данной работы неизвестны другие работы, в которых бы использовались множества в определении Кантора. В лучшем случае используется зачем-то термин множество как синоним совокупности. Даже в аксиоматических определениях множеств рассматриваются только совокупности элементов. Во многих математических работах идентификатор множества трактуется как название рассматриваемой совокупности элементов. Можно обратить внимание, что для называния совокупности элементов никакого их единения не требуется. Кроме того, название совокупности вряд ли способно представлять все элементы этой совокупности. Кантор считает, что на эту роль может претендовать лишь некая сущность определяемая всей совокупностью элементов с учётомих взаимоотношений и взаимодействий. Кантор называет эту сущность множеством. Теория понятий считает и называет эту сущность семантикой. Семантика в теории понятий это то, что определяется канторовским определением множества. И неважно как эту сущность называть, главное, чтобы было что называть. Семантика в теории понятий это не досужая выдумка досужих мудрецов, а реальное свойство, реальная характеристика реальных сущностей и реальных действий. Теория понятий считает, что схема M: {mi} это не выдумка Кантора, а схема мироустройства.
Теория понятий считает, что математика с появлением множеств в тот же момент превратилась в информатику. в естественно научную дисциплину.
4. Семантика
Семантика это не досужийдомысел досужих мыслителей.
Многие наивные математики усматривают семантику определения множеств Г Кантора в количественных характеристиках совокупностей элементов. Теория понятий усматривает семантику совокупностей в характере взаимоотношений элементов. совокупностей. К сожалению аксиоматические определения множеств игнорируют эти взаимоотношения, что приводит к логическим парадоксам. Взаимоотношения могут быть очень разнообразными, вплоть до функциональных. Это полиморфизм определения множества. Если некоторые элементы созерцания или даже мышления находятся в естественной взаимозависимости, то её и определять словами нет необходимости. Единственное, что может потребоваться в этой ситуации это лишь удостовериться в её наличии. Но это уже вне теории понятий.
Кантор предложил ставить предметы мышления в один ряд с предметами созерцания. Кантор, наверное, не случайно использовал для называния определяемой сущности термин множество, который в бытовом смысле очень близок термину совокупность элементов. Этим лишний раз подчёркивается, что определяемая сущность по определению не отличается от совокупности элементов, хотя и не является совокупностью элементов. Семантика некоторых сущностей доступна посредством оператора GOOGLE (термин).
В определении понятия множества несколько неопределённым остаётся вопрос о единении элементов. Поскольку в определении понятия множества способ, алгоритм единения элементов определяющей совокупности не определён и не зафиксирован, не исключено, что множества, определяемые на некоторой конкретной совокупности элементов, могут в теории множеств различаться. «Если нечто не исключено, то оно возможно». Но определение понятия множества требует, чтобы в любом случае сущности, составляющие определяющую совокупность, были различимы. Так, если мы сумеем различать определяемые множества, то в качестве предметов нашего мышления элементами множества могут являться определённые множества. Существенно, что не определяемые множества, а уже определённые множества. Это требование определения множества. Ибо не опреднлённые множества различать затруднительно.
Ещё один нюанс в определении множества: определение множества предполагает, что некая сущность M представляет совокупность элементов {mi} в достаточной мере. Практически это не всегда выполнимо. Даже найти сущность, которая будет представлять эту совокупность хотя бы в некоторой степени не так просто. Искусство мышления. В некоторых ситуациях это исключено в принципе. На нет и суда нет. Мышление нетривиально.
В своё время, в начале 20-го века теории множеств уделялось много внимания в надежде на использование её в качестве надёжного, прочного фундамента математики. Однако в самом начале развития теории множеств в ней были обнаружены логические противоречия (обычно называемые парадоксами). Наиболее простое из них так называемый парадокс Рассела. В связи с этим канторовская теория множеств как основание математики была отвергнута. Следует заметить, что первый парадокс множеств был замечен ещё самим автором теории множеств, но это не остановило его от продолжения работы над теорией множеств. Кантор, наверное, понимал, что эти парадоксы преодолимы средствами самой теории множеств
5. Последний парадокс теории множеств
С точки зрения теории понятий парадокс Рассела ошибочен. Гильберт считал, что парадоксы теории множеств вызваны не законом исключённого третьего. Он писал: «эти парадоксы происходят скорее потому, что используются недопустимые, бессмысленные образования понятий, которые в моей теории исключаются сами собой». Он предлагал различать «действительные» и «идеальные» предложения классической математики. Первые имеют содержательный смысл, а вторые не обязаны иметь содержательный смысл. Мы присоединяем идеальные предложения к действительным, чтобы простые правила логики были применимы и к рассуждениям о бесконечных множествах. Это существенно упрощаетструктуру всей теории.
Конец ознакомительного фрагмента.